【凸度与久期计算公式】在固定收益证券分析中，久期和凸度是衡量债券价格对利率变动敏感性的两个重要指标。久期用于衡量债券价格对利率变化的线性反应，而凸度则衡量这种关系的非线性部分。理解这两个概念对于投资者进行债券投资、风险管理以及资产配置具有重要意义。
一、久期（Duration）
久期是衡量债券价格对市场利率变化的敏感程度的一种指标，通常以年为单位表示。它代表了债券的平均到期时间，但更准确地说，它是债券未来现金流的加权平均期限，权重为各期现金流现值占总现值的比例。
1. 修正久期（Modified Duration）
修正久期是久期的调整版本，用于更精确地估算债券价格对利率变化的反应。
公式：
$$
\text{修正久期} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^t}}{(1 + y) \cdot P}
$$
其中：
- $ C_t $ 是第 $ t $ 期的现金流
- $ y $ 是债券的收益率
- $ P $ 是债券当前价格
- $ n $ 是债券的剩余期数
2. 麦考利久期（Macaulay Duration）
麦考利久期是未调整的久期，表示债券的平均到期时间。
公式：
$$
\text{麦考利久期} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^t}}{P}
$$
二、凸度（Convexity）
凸度是衡量债券价格对利率变化的二阶敏感性，反映了久期随利率变化的幅度。当利率下降时，债券价格上升的速度会加快；当利率上升时，债券价格下降的速度会减慢。这正是凸度所描述的现象。
公式：
$$
\text{凸度} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t(t + 1) \cdot C_t}{(1 + y)^{t + 2}}}{P}
$$
其中：
- $ C_t $ 是第 $ t $ 期的现金流
- $ y $ 是债券的收益率
- $ P $ 是债券当前价格
- $ n $ 是债券的剩余期数
三、久期与凸度的关系
| 指标 | 定义 | 公式 | 作用 |
| 久期 | 债券价格对利率变化的线性敏感度 | $\frac{\sum t \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^t}}{P}$ | 评估债券价格对利率变化的近似反应 |
| 修正久期 | 调整后的久期，考虑收益率变化的影响 | $\frac{\sum t \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^t}}{(1 + y) \cdot P}$ | 更准确地预测价格变化 |
| 凸度 | 债券价格对利率变化的非线性敏感度 | $\frac{\sum t(t+1) \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^{t+2}}}{P}$ | 补充久期不足，提高价格预测精度 |
四、应用实例
假设有一只票面利率为5%、剩余期限为3年的债券，当前市场利率为6%，面值为100元，按年付息。
| 年份 | 现金流（元） | 折现因子（6%） | 现值（元） | 权重（现值/总价） | 加权时间 |
| 1 | 5 | 0.9434 | 4.717 | 0.048 | 0.048 |
| 2 | 5 | 0.8900 | 4.450 | 0.045 | 0.090 |
| 3 | 105 | 0.8396 | 88.158 | 0.887 | 2.661 |
| 合计 | — | — | 97.325 | — | 2.799 |
根据上表：
- 麦考利久期 = 2.799年
- 修正久期 = 2.799 / (1 + 0.06) ≈ 2.641年
- 凸度 = 计算较为复杂，需代入公式得出
五、总结
久期和凸度是债券定价与风险控制中的核心工具。通过合理使用这两个指标，投资者可以更准确地评估利率变动对债券价值的影响，从而优化投资组合结构，降低利率风险。
| 指标 | 用途 | 特点 |
| 久期 | 评估价格对利率的线性反应 | 简单直观，但忽略非线性因素 |
| 凸度 | 评估价格对利率的非线性反应 | 提高预测精度，常与久期结合使用 |
如需进一步分析不同债券的久期与凸度，可采用Excel或专业金融软件进行计算。