【面面垂直的判定】在立体几何中，两个平面之间的位置关系有多种，其中“面面垂直”是一种重要的关系。判断两个平面是否垂直，是学习空间几何的重要内容之一。本文将对“面面垂直”的判定方法进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、面面垂直的定义
当两个平面相交于一条直线时，若它们所形成的二面角为直角（即90°），则称这两个平面互相垂直。记作：α ⊥ β。
二、面面垂直的判定方法
以下是常见的几种判定方法：
| 判定方法 | 具体说明 |
| 1. 利用法向量 | 若两个平面的法向量垂直，则这两个平面也垂直。设平面α的法向量为n₁，平面β的法向量为n₂，若n₁·n₂ = 0，则α ⊥ β。 |
| 2. 利用线面垂直 | 如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。即：若l ⊂ α，且l ⊥ β，则α ⊥ β。 |
| 3. 利用二面角 | 若两个平面所形成的二面角为90°，则这两个平面垂直。可以通过构造一个与交线垂直的平面来测量二面角的大小。 |
| 4. 利用坐标系 | 在三维坐标系中，若两个平面的方程分别为A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 和 A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0，则当A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0时，两平面垂直。 |
三、应用举例
- 例1：已知平面α的法向量为(1, 2, 3)，平面β的法向量为(-2, 1, 0)，判断两平面是否垂直。
解：计算点积：1×(-2) + 2×1 + 3×0 = -2 + 2 + 0 = 0 → 垂直。
- 例2：已知平面α经过点A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(0, 0, 1)，平面β经过点D(2, 0, 0)，E(0, 2, 0)，F(0, 0, 2)，判断两平面是否垂直。
解：分别求出两个平面的法向量，再判断是否垂直。
四、总结
面面垂直的判定是立体几何中的重要知识点，掌握其判定方法有助于提高空间想象能力和逻辑推理能力。通过法向量、线面垂直、二面角以及坐标法等多种方式，可以灵活地判断两个平面是否垂直。
| 判定方法 | 适用范围 | 是否常用 |
| 法向量法 | 所有平面 | 高频 |
| 线面垂直法 | 有明确线段时 | 中频 |
| 二面角法 | 需要构造辅助平面 | 低频 |
| 坐标法 | 已知平面方程时 | 高频 |
通过以上内容，可以系统地理解“面面垂直”的判定方法及其实际应用，帮助学生更好地掌握立体几何的相关知识。