【inx的不定积分】在微积分中，求函数的不定积分是常见的问题之一。对于“inx”的不定积分，通常指的是对自然对数函数 $\ln x$ 的积分。由于“inx”可能是“$\ln x$”的误写或输入错误，本文将围绕 $\ln x$ 的不定积分进行总结，并以表格形式展示相关结果。
一、基本概念
不定积分是指一个函数的所有原函数的集合，即：
$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$
其中 $F'(x) = f(x)$，$C$ 是积分常数。
对于 $\ln x$ 的积分，我们可以通过分部积分法来求解。
二、$\ln x$ 的不定积分推导
使用分部积分法：
设 $u = \ln x$，$dv = dx$
则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = x$
根据分部积分公式：
$$
\int \ln x \, dx = uv - \int v \, du = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C
$$
因此，
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
$$
三、常见函数的不定积分对比表
| 函数 $f(x)$ | 不定积分 $\int f(x) \, dx$ | 说明 | ||
| $\ln x$ | $x \ln x - x + C$ | 分部积分法求得 | ||
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ | ||
| $e^x$ | $e^x + C$ | 指数函数的积分 | ||
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | 三角函数积分 | ||
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | 三角函数积分 | ||
| $\frac{1}{x}$ | $\ln | x | + C$ | 对数函数积分 |
四、注意事项
1. 积分常数 $C$：表示所有可能的原函数，不可省略。
2. 分部积分法：适用于乘积形式的函数，如 $\ln x$、$x e^x$ 等。
3. 定义域：$\ln x$ 的定义域为 $x > 0$，积分结果也需在此范围内成立。
五、总结
“inx”的不定积分若指 $\ln x$ 的积分，则其结果为：
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
$$
通过分部积分法可以得出该结果，同时在实际应用中应注意积分常数和函数定义域的问题。表格中还列出了其他常见函数的不定积分，供参考和比较。
如需进一步探讨其他函数的积分方法，可继续提问。