【各种分布的方差与期望】在概率统计中，了解不同随机变量的期望和方差是分析其分布特性的基础。以下是对常见概率分布的期望（均值）和方差的总结，帮助读者快速掌握各类分布的核心参数。
一、离散型分布
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ | 说明 |
| 伯努利分布 | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x},\ x=0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ | 一次试验成功或失败 |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ | n次独立伯努利试验 |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ | 事件发生次数的模型 |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1}p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ | 首次成功前的试验次数 |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ | 不放回抽样 |
二、连续型分布
| 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ | 说明 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a},\ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ | 在区间内等概率分布 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ | 最常见的对称分布 |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ | 事件发生的时间间隔 |
| 伽玛分布 | $ f(x) = \frac{\lambda^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} $ | $ \frac{\alpha}{\lambda} $ | $ \frac{\alpha}{\lambda^2} $ | 用于描述事件发生时间的总和 |
| 贝塔分布 | $ f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} $ | $ \frac{\alpha}{\alpha+\beta} $ | $ \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $ | 定义在 [0,1] 区间的分布 |
三、其他重要分布
| 分布名称 | 期望 | 方差 | 说明 |
| 卡方分布 | $ k $ | $ 2k $ | 独立标准正态变量平方和的分布 |
| t 分布 | 0（当自由度 >1） | $ \frac{k}{k-2} $（当 k >2） | 对称但尾部更厚的分布 |
| F 分布 | $ \frac{m}{m-2} $（当 m >2） | 复杂表达式 | 两卡方分布比值的分布 |
通过以上表格可以清晰地看到，每种分布都有其特定的期望和方差，这些参数反映了分布的集中趋势和离散程度。在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的分布，并利用其期望和方差进行建模与推断。